Independencia de alternativas irrelevantes

Una Regla de Elección Definida a Partir de una Distancia

La Regla $\mathbf {C^{\Sigma }}$

Definición 1

Dado un conjunto $A$ definimos ${\mathcal {M}}(A)$ como conjunto formado por todos los multiconjuntos cuyos elementos están en $A$ . Por ejemplo si, $A=\{a,b,c\}$ , entonces ${a,a,a,b,b}\in {\mathcal {M}}(A)$ .

Además dados $\mu _{1},\mu _{2}\in {\mathcal {M}}(A)$ denotamos la unión de multiconjuntos por $\mu _{1}\sqcup \mu _{2}$ , este es el multiconjunto formado por los elementos que están o bien en $\mu _{1}$ , o bien en $\mu _{2}$ . Por ejemplo, $\{a,b,b\}\sqcup \{b,a\}=\{a,a,b,b,b\}$ .

Definición 2

Definimos la distancia- $\Sigma$ entre un elemento de $X$ y un multiconjunto de ${\mathcal {P}}(X)$ de la siguiente manera:

d^{\Sigma }:X\times {\mathcal {M}}\left({\mathcal {P}}(X)\right)\longrightarrow N

d^{\Sigma }(x,\mu )=\sum _{A\in \mu }d^{*}(x,A)

Dado un perfil $u=(\leq _{1},\cdots ,\leq _{k})$ se le puede asociar un elemento $\rho _{u}\in {\mathcal {M}}({\mathcal {P}}(X))$ , llamado el conjunto de preferencias principales, de la siguiente manera:

\rho _{u}=\{\min(\leq _{1}),\cdots ,\min(\leq _{k})\}

Ahora se define $\leq _{u}^{\Sigma }$ asociado a un perfil $u$ :

x\leq _{u}^{\Sigma }y\Longleftrightarrow d^{\Sigma }(x,\rho _{u})\leq d^{\Sigma }(y,\rho _{u}).

Finalmente se puede definir $C_{u}^{\Sigma }$ como la regla de elección asociada a $\leq _{u}^{\Sigma }\$$ , es decir, $C_{u}^{\Sigma }(V)=\min(V,\leq _{u}^{\Sigma }).$

Esta regla así definida no satisface dos de las condiciones del Teorema de Imposibilidad de Arrow. Esas propiedades son: La propiedad de Independencia de Alternativas Irrelevantes y la Propiedad de Pareto.